ブログだと140字以上打てる

大学院生が数学の話とかしている.

進捗記録2020/10(その1)

何も書かないと怠惰な生活を送りすぎることが判明した. そこで,進捗を毎日生むために記録を書くことにした(LaTeX絡みの話も進捗ではあるので書くことにした).

10/19

Lebesgue測度の合同変換に関する不変性の最後のピースとなる,回転に関する不変性を示した. これは半年くらい前にゼミで登場した命題だが,証明に使う命題に出てくる写像の可測性が謎で放っておいたものである. 回転行列が正則行列であることに注目すれば,基本行列  P について, x \mapsto Px が測度を  \lvert \det(P) \rvert 倍することを確かめればよいと分かったのでできた.

内積空間のテンソル積の内積の正定値性を示した(友人の疑問). 実は線型代数を使うと綺麗にできるらしく,また線型代数をさぼっていることが問題だと理解させられた.

10/20

代数の授業があったので,代数の演習問題をやった. 内容は  K 係数多項式環の剰余環  A から  K-代数  B への射全体が,剰余を取ったイデアル  (f_1, \dots, f_m) が代入によって  (0) になるような  B の元全体と1対1対応するって話. 普段あまり触ってないせいで,当たり前のラインが手前になっていて解答が長くなってる気がする.

バイトの一環として中学数学の幾何を解いた. 流石にほとんどは目で解けるが,垂心が垂線の足を結んだ三角形の内心になることがぱっと示せなくてダメだった(計30分以上考えてた). 必要な命題が揃ってからも5分くらい悩んでいたので,たぶんアホなんだと思う.

ある級数の極限を求める問題を考えたが,答えの検討が付くくらいで解けなかった. 扱ったことないタイプの問題だったので,頑張って解いていきたい.

10/21

代数の演習を引き続きやった. 有限生成かつ代数拡大ならば有限次拡大(基底も明示する)を示す問題で,とりあえず有限次拡大になることの証明は分かった. 明日は基底になることを示す.

Twitterで見つけた位相の問題に取り組んだ. 「 A \subset X がコンパクト」と「任意の位相空間  Y と任意の  y \in Y について, A \times {y} \subset W なる開集合  W に対して, A \subset U y \in V となる開集合  U, V が存在して  U \times V \subset W が成り立つ」が同値である,というものだった. コンパクトから変なやつを示すのは簡単だが,逆がよく分からなかった.

後輩が演習の授業で出された問題について考えた.

10/22

函数解析の課題をやった. 久しぶりに伊藤『ルベーグ積分入門』を開いたら,使おうと思ってた命題が演習に回されてたので補題として示した. その後もパラパラめくってたらやりたいことがもっと賢く証明されていたが,準備を考えるとそんな手間が変わらなそうだった.

代数の課題をやった. 昨日方針できてたやつを(基底になることも含めて)ちゃんと書いた.

代数の続きをやろうと思い,あったら便利そうな環境を定義していたらなんか謎の動きをし始めたのでサークルのSlackに疑問を投げた. Twitterにも「ぶら下げインデントやりたいです!」って書いたらhangingパッケージとかいうこのためのパッケージ教えて貰って解決した.

10/23

主に授業を受けていた. 代数の課題も少し進んだ.

10/24

黒田『関数解析』ゼミを行った *1積分作用素の一例を紹介するところまで行ったが,その後は準備が足りず,必要になった積分の可測性などについて議論していた. 上記のヤバ指数が整理すると結構簡単に出ることに気付けた.

人に聞いたら積分の可測性については解決した. 後でPDFを書く.

10/25

中村『超準解析と物理学』ゼミを行った. 位相に関する性質を超準解析を用いて特徴付けていた. 個人的にはコンパクト性が各点に関する性質に帰着されたのは驚いたが,良く考えるとフィルターでも同じことは起きていた.

最後に

生活が終わってるせいで投稿がこれだけ遅れてしまった...

*1:函数」と「関数」については,授業名の方に後者が用いられていたため,授業に関するときは前者を用いている.